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高中数学教材中的数学文化分析  

2018-06-07 15:53:52|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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    高中数学教材中所涉及到的数学文化有哪些,发挥了怎样的作用?展现出了数学中哪些有趣的引人入胜的故事及数学知识?教材中涉及到的数学文化是否还应该得到进一步的完善?本文通过对教材中涉及到的数学文化具体分析,解决上面提出的三个问题.

        高中数学教材人教版A版中插入了很多数学文化,其中不乏众多精彩的片段.在每一章后面都有阅读与思考,学生们可以在课上或闲暇之余细细品读,不但开阔自己的数学视野还能提高对本章多学内容的认识.

   1、人教版A版中所提及的数学文化

   1.1  人教版A版必修1主要涉及到的数学文化

第一章是集合与函数概念,在第二节末尾讲述了函数概念的发展历程.其中提到“function”一词最初由德国数学家莱布尼茨在1692年使用.1755年,瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量,以一种方式依赖于另一些变量,我们将前面的变量称为后面变量的函数.”德国数学家狄利克雷在1837年提出:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则yx的函数.19世纪70年代以后,随着集合概念的出现,函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述.

可见在这一篇阅读与思考中,言简意赅地讲述了数学中一个最重要的概念--函数的来龙去脉以及围绕着它的有关数学知识的发展与进步.

第二章第二节中的阅读与思考讲述了对数的发明,苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中发明了对数.恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就.18世界由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系.

第三章第一节的阅读与思考讲述了中外历史上的方程求解,其中简要地介绍了一次方程、二次方程三次方程在国内国外的解决问题.而五次以上的代数方程的根式求解问题首次由挪威数学家阿贝尔解决.虽然指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程不能用代数运算求解,但数值解法随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用.此文简明扼要地概述了代数方程的发展历程,并提到了方程的数值解法应用的广泛性与重要性,还提到了现代利用计算机实现复杂的运算处理.计算机技术与数学的联系越来越紧密,提高了学生对数学领域中计算数学这一分支的认知.

 

1.2人教版A版必修2主要涉及到的数学文化

第一章第二节介绍了画法几何与法国数学家蒙日,蒙日在1799年出版了《画法几何学》一书.在该书中,蒙日第一次详细阐述了怎样把空间物体投影到两个互相垂直的平面上,并根据投影原理(这种原理后来发展成射影几何学)推断出该空间物体的几何性质.

第一章第三节结尾介绍了祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积,通过阅读此文可以了解我国古人卓越的数学智慧,增强民族自信心和自豪感.在感叹古人智慧的同时,也给自己树立良好地榜样,激励自己向前人学习.

第二章末的阅读与思考介绍了欧几里得《原本》与公理化方法.《原本》是欧几里得用公理化方法把零散的几何知识归为一体,树立了以公理化方法研究数学的典范.由于公理化方法表述数学理论的简捷性、条理性、以及结构的和谐性、为其他科学理论的表述起了示范作用.牛顿的伟大著作《自然哲学之数学原理》以及希尔伯特的《几何基础》便很好地参考了这种方法.公理化方法对数学的影响是不言而喻的,中学课本里介绍这种方法能极大的促进学生们正确理解数学.

第三章末介绍了笛卡尔与解析几何.解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义,是数学发展史上的一个里程碑.解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法.这种方法具有一般性,它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系.从此代数与几何互相吸取新鲜的活力,得到迅速的发展.

第四章第三节的阅读与思考介绍了坐标法与机器证明.20世纪70年代我国数学家吴文俊在几何定理机器证明上作出了重大贡献,并创立了“吴方法”.

1.3 人教版A版必修3主要涉及到的数学文化

    第一章末的阅读与思考介绍了割圆术.263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆面积,即所谓“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.刘徽采用了以直代曲、无限趋近、“内外夹逼”的思想,创立了“割圆术”.

    第二章第一节的阅读与思考提到了广告中数据的可靠性.它是让学生们根据本章所学的统计知识来分析现实生活中的具体问题,强化学生们利用自己的数学知识分析具体的生活场景.第一节末还提到了如何得到敏感性问题的诚实反应,让同学们知道作为一个调查者时该怎么判定被调查者真实的内心意思.同时让同学们注意自己以后设计调查问卷时该注意到的一些重要问题.

    第三章第一节末的阅读与思考介绍了天气变化的认识问题.人类对天气变化经历了漫长的认识过程,积累了丰富的气象经验,这些经验的获得实际上有意无意地应用了概率与统计方面的知识.统计预报以概率论为基础,其基本思路是:将预报量P同其他的一些气象要素(…,)进行统计分析,建立起回归方程,利用统计决策作出预报.将动力学预报与统计预报相结合,可以提高预报效果.

    第三章第三节末的阅读与思考介绍了概率与密码.通过阅读此文可以发现概率的应用之奇妙,让人感叹不已.

    1.4 人教版A版必修4主要涉及到的数学文化

    第一章第一节中的阅读与思考介绍了三角学与天文学.三角学的起源、发展与天文学密不可分,它是天文观察结果推算的一种方法,在1450年以前的三角学主要是球面三角,这不但是因为航海、历法推算以及天文观测等人类实践活动的需要,而且也因为宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力,这种“量天的学问”确实太诱人了.后来,由于间接测量、绘图工作的需要而出现了平面三角.在欧洲,最早将三角学从天文学中独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯.他的工作为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固基础,对16世纪的数学家产生了极大影响,也对哥白尼等一批天文学家产生了很大影响.法国数学家韦达所做的平面三角形与球面三角系统化工作,使得三角学得到进一步发展.

    第二章第一节末的阅读与思考介绍了向量及向量符号的由来.大约公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.1827年,莫比乌斯以表示起点为,终点为的向量,这种方法被数学家广泛接受.向量进入数学并得到发展,是从复数的几何表示开始的.1797年,丹麦数学家威塞尔利用坐标平面上的点表示复数,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.

    1.5 人教版A版必修5主要涉及到的数学文化

    第一章第二节的阅读与思考介绍了海伦与秦九韶.在解三角的问题中,一个比较困难的问题是如何由三角形的三边直接求出三角形的面积.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,他得到了公式,这里.

但现在人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式,称此公式为海伦公式.我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”.

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秦九韶独立推出了“三斜求积”公式,它虽然与海伦公式形式上不一样,但两者完全等价,它填补了我国传统数学的一个空白,从中可以充分说明我国古代已具有很高的数学水平.

    第二章第一节末的阅读与思考介绍了斐波那契数列.斐波那契数列是在研究动物的繁殖问题时发现的,但人们在研究它的过程中,还发现了许多意想不到的现象.例如树苗在第一年长出一条新枝,新枝成长一年后变为老枝,老枝每年都长出一条新枝.每一条树枝都按照这个规律成长,则每年的分枝数正好构成了斐波那契数列.又如带小花的大向日葵的管状小花排列成两组交错的螺旋,通常顺时针的螺旋有34条,逆时针的螺旋有55条,恰为斐波那契数列数列的相邻两项,这样的螺旋被称为“斐波那契螺旋”.蒲公英和送塔就是以“斐波那契螺旋”的形式排列种子或鳞片的.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.

    第二章第五节末的阅读与思考介绍了九连环.通过介绍九连环加深对等比数列的认识.

    2 、对教材中涉及的数学文化分析

    有关函数的发展、对数的发明、几何原本、解析几何的建立、斐波那契数列的发现等是世界数学史上极为著名的数学事件,是了解数学文化的典型代表.教材选取的内容很好的符合了中学生的认知能力.阅读与学习这些数学文化内容能很好的促进学生对数学的热爱,提高他们对学习数学的兴趣.同时教材介绍了部分中国数学伟大成就,例如祖暅原理、割圆术、秦九韶公式等.这些内容以介绍中国的数学思想和数学成就为出发点,能促进学生们高尚的爱国情怀和增强民族自信心.

    但笔者认为教材中涉及的数学文化还应当有些补充和改进.数学文化内容的设置首先立足学生们已经掌握的数学知识,即应当与教材内容紧密相连结伴而行.数学文化内容侧重的是数学观念性成分,主要是让学生通过了解数学思维的特征,树立数学意识,养成数学精神,体验数学之美,以达到强化学习数学的兴趣和信心,形成正确的世界观以及发展学生个性等文化教育目的.

    必修2中第一章第三节介绍的祖暅原理用极大的篇幅描述了柱体、锥体、球体的体积求法,便略显单调乏味。可以减少其中相关内容,介绍一下祖暅的生平和他对中国数学产生的影响以及他个人对数学用心开拓的精神。数学是人类智慧的结晶,不仅蕴含着极强的逻辑思维能力和人类对自然客观世界的理性认知,还有在这个探索过程中数学家体现出的个人人格魅力。数学史在一定程度上反应了人类文明的发展史。数学史中充满了“数学人”的喜、怒、哀、乐、困顿与骄傲,以及他们的艰辛的努力。

    在必修1第三章第一节的阅读与思考中,在介绍方程的解法的发展历程中,可以加入对相关重要人物阿贝尔的介绍。阿贝尔是世界数学历史上极具有传奇色彩的天才数学家。阿贝尔1802年出生在挪威的一个牧师家庭,1820年父亲去世,在他老师霍母彪的帮助下得以在克里斯蒂安尼亚大学就读。他在大学里便一边自学一边花费大量时间做研究。1824年发表了《一元五次方程没有代数一般解》的方程,并渴望由此带来生活的转机和名望。于是寄给当时德国大数学家高斯,但高斯错过了这篇论文。1825年冬季在亲戚朋友的资助下远赴柏林,虽得不到当时德国很多著名数学家的重视,但在该期间又看到了很多新的数学研究方向,并做了很多研究。最后怀着失望辗转回到挪威,由于欠下很多债务,只好靠教书和大学里的微薄津贴维持生计勉强度日。他生活拮据、穷困潦倒,同时还有疾病缠身,但这些并没有使他降低对数学的热情。在生命中最后的几年里,写下了大量的论文,主要是方程理论和椭圆函数。182946日凌晨,阿贝尔去世,而德国柏林大学的聘用书于次日到达。后人每当想起这位英年早逝的数学家的辛酸经历和他对数学孜孜不倦地追求,不禁唏嘘不已。

“一个概念在数学上的重要性既取决于它的符号表达形式,也取决于它与其他概念之间的。如果一种符号形式造成了理解上的困难、甚至对这一概念彻底拒绝,那么假设这一概念是有用的一种更容易把握和理解的符号形式就会得到发展。如果一组概念的相互联系使得他们合并成一个更为一般的概念的一体化成为可能,后者也就会得到发展。”数学符号对数学产生的影响是不言而喻的,便捷优美的数学符号不仅能很好地促进人们用数学进行沟通,同时它也是一种文化。

在必修1第二章第二节的阅读与思考中介绍了对数的发明。其中介绍了人们关于对数与指数的认识的发展历程,同时介绍了对数的表达形式。笔者认为还能补充一些内容,比如向量、向量符号、复数、复数表示方法以及它们之间的联系。虽然在必修4第二章第一节介绍了向量符号,但可以适当延伸一下。尤其是数学家们对虚数的认知和探究过程。用欧拉公式导出的优美的结果,一度深受广大数学爱好者的追捧和喜欢。

在解题的过程中渗透数学文化,尤其是历史上的数学名题。数学名题和数学猜想是无数先贤细致思考和用心钻研的结晶,它们无不很好的促进了数学的不断前进。历史上许多数学名题不仅能展现出其所在的历史背景,且都展现着某些重要的思想方法和独特的数学魅力。例如古希腊三大几何问题、哥尼斯堡七桥问题、哥德巴赫猜想等。而教材中对数学名题以及通过它们所显现出的数学文化并未提及。



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